Harmonisk svängningsrörelse
En svängningsrörelse där en vikt hänger i en fjäder illustreras i fig. nedan. När vikten hänger stilla i fjädern är vikten i jämviktsläge, då är kraften i fjädern lika med tyngden av vikten. Då vikten sätts i vertikal rörelse rör den sig mellan två ytterlägen (maximala utslag) belägna lika långt från jämviktsläget. Det vertikala avståndet mellan jämviktsläget och viktens position kallas rörelsens elongation och vid ytterlägena rörelsens amplitud.
Den svängande viktens elongation varierar med tiden på samma sätt som projektionen på y-axeln av en cirkulär rörelse med konstant hastighet. Vi får då att elongationen är en sinusfunktion av tiden, se fig. nedan.
Enligt figuren ovan blir elongationen \(y=A\sin(ωt)\) dvs viktens rörelse är en harmonisk svängning. Formeln kan också kallas lägesfunktionen.
Den roterande visarens vinkelhastighet \(ω\) i fig. ovan kan uttryckas som
$$ω=\frac{2\pi}{T}=2\pi f$$
där
\(ω=\) vinkelhastigheten rad/s
\(T=\) perioden (omloppstiden för ett varv) s
\(f=\) frekvensen (antalet varv per sekund) 1/s
\(A=\) amplituden m
Hastighet och acceleration
Vi har lägesfunktionen \(y=A\sin(ωt)\) då får vi att
Hastighetsfunktionen ges av $$v=\frac{dy}{dt}=ωA\cos(ωt)$$
Accelerationsfunktionen ges av $$a=\frac{dv}{dt}=\frac{d^2y}{dt^2}=-ω^2A\sin(ωt)=-ω^2y$$ Accelerationen har alltså sitt största värde \(ω^2A\) vid vändlägena.
Ovanför jämviktsläget är elongationen positiv och accelerationen negativ, alltså riktad nedåt. Nedanför jämviktsläget är elongationen negativ och accelerationen positiv, alltså riktad uppåt.
Accelerationen är alltid riktad mot viktens jämviktsläge.
Resulterande kraft
Vid harmonisk svängning är kraftresultanten riktad mot jämviktsläget. Storleken är proportionell mot elongationen.
Krafftekvationen ger \(F=ma\) och accelerationen enligt ovan kan tecknas \(a=-ω^2y\) som ger den resulterande kraften riktad mot jämviktsläget $$F=-mω^2y$$
Experimentellt kan man visa att fjäderkraften \(F_f\) är proportionell mot fjäderns förlängning s, alltså
$$F_f=k\cdot s \Rightarrow k=\frac{F_f}{s}$$
Fjäderkonstanten \(k\) är ett mått på hur stark fjädern är, dvs ju större fjäderkonstanten är desto svårare är det att spänna fjädern.
Tre lägen (1 – 3) för en obelastad och belastad fjäder vid en svängning.
- Fjädern är obelastad
- I jämviktsläget är fjäderförlängningen \(s_0\). Fjäderkraften \(k\cdot s_0\) är lika med tyngden \(mg\)
- När vikten befinner sig sträckan \(s_1\) under jämviktsläget är förlängningen \(s_0+s_1\) och fjäderkraften \(k\cdot (s_0+s_1)\) är då större än tyngdkraften. Elongationen är \(y=-s_1\)
