Svängningsenergi

När en fjäder försedd med en vikt, spänns med en kraft \(F\) över en sträcka \(x\) från sitt jämviktsläge, utförs ett arbete som laddar energi i fjädern. \(F\) är proportionell mot avståndet \(x\) till jämviktsläget, \(F=kx\). Släpps fjädern börjar vikten röra sig i harmonisk svängning.

När vikten släpps efter att ha dragit den sträckan \(A\), kommer amplituden i svängningen att bli \(A\). Det arbete som utförts motsvaras av den färgade ytan under grafen i figur nedan. Den energi \(E\) vi tillfört systemet är lika stor som arbetet.

När ett föremål med massan \(m\) rör sig i harmonisk svängning med fjäderkonstanten \(k\), amplituden \(A\) och vinkelhastigheten \(\omega\), är systemets svängningsenergi

$$E = A\cdot \frac{kA}{2} = \frac{kA^2}{2} = \frac{m \omega^2A^2}{2}$$

Svängningarna innebär en succesiv växling mellan rörelseenergi (kinetisk energi) och potentiell energi. I vändlägena är den bara potentiell, när jämviktsläget passeras är den bara kinetisk.

Vi vet också att summan av kinetisk energi och potentiell energi, dvs totala energin, är konstant i varje givet ögonblick

$$E_p + E_k = E$$

\(E_p = \frac{k(A\sin\omega t)^2}{2}⇒E_{p, max} = \frac{kA^2}{2}\; →\text{vändläge}\)

\(E_k = \frac{k(A\cos\omega t)^2}{2}⇒E_{k, max} = \frac{kA^2}{2}\; →\text{jämviktsläge}\)

Vi ser av formlerna ovan att all potentiell energi omvandlas till kinetisk energi och tvärtom, förutsatt att det inte finns andra energiförluster eller energitillförsel i systemet.

Dessa uttryck gäller för horisontell såväl som vertikal svängning.